指数函数单调性的严格证明

1. 指数函数单调性的严格证明

对a^x，a
>
0，讨论它的单调性就不能不先说明它的确切定义。
指数函数是定义在整个实数区间上的。我们先说在整数上的定义：
a^n
=
a
*
a
*
...
*
a
（n
>
0，下同）（n个a相乘）
a^0
=
1
a^(-n)
=
1
/
a^n
再说有理数集上的定义：
a^(1
/
n)
=
a的n次算术根，
a^(p
/
q)
=
(a^p)的q次算术根，其中p
/
q是既约分数.
这样一来，有理数集上的指数函数就定义好了。并且用初等的方法不难证明在有理数集上a^(p
/
q)的单调性。事实上，对a^(p1
/
q1)和a^(p2
/
q2)，可以把分数p1
/
q1和p2
/
q2通分，这样分母相同，设分别是p1'
/
q，
p2'
/
q。现在就是在比以a^(1
/
q)为底，以p1'和p2'为指数的两个数大小。显然当a
>
1时，a^(1
/
q)
>
1，从而可知函数是严格单调增的；反之，a
<
1时，也能证出函数是严格单调减的

2. 指数函数单调性的严格证明

证：设f(x)=a的x次，a＞0，x∈R
f‘（x）=a的x次方*lna
①如果a＞1，则lna＞0，此时f’（x）＞0，指数函数单调递增
②如果a＜1，则lna＜0，此时f‘（x）＜0，指数函数点掉递减
证毕

3. 指数函数的单调性如何证明

指数函数的单调性如何证明  
 y=a^x 如果a>1,则函数单调递增,如果0<a<1,则函数单调递减.
  
 1、复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；
  
 2、复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X。
  
 因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大。
  
 因此可得“同增” 若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小。
  
 反之亦然，因此可得“异减”。
   指数函数的单调性证明例题  
 举个简单的例子：y=5 上标x次方，用定义法求
  
 令x1<x2
  
 y1=5^x1>0
  
 y2=5^x2>0
  
 y1/y2
  
 =5^x1/5^x2
  
 =5^(x1-x2)
  
 因为x1＜x2 所以 x1-x2＜0 5^(x1-x2)＜1
  
 所以 y1＜y2
  
 根据增函数定义可知
  
 y=5上标x次方，在定义域内为增函数
  
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 指数函数用定义证明单调性，一般做商，之后再与1比较大小

4. 指数函数单调性的严格证明

证：设f(x)=a的x次,a＞0,x∈R
  f‘（x）=a的x次方*lna
  ①如果a＞1,则lna＞0,此时f’（x）＞0,指数函数单调递增
  ②如果a＜1,则lna＜0,此时f‘（x）＜0,指数函数点掉递减
  证毕

5. 如何证明指数函数的单调性

对a^x，a > 0，讨论它的单调性就不能不先说明它的确切定义。
指数函数是定义在整个实数区间上的。我们先说在整数上的定义：
a^n = a * a * ... * a （n > 0，下同）（n个a相乘）
a^0 = 1
a^(-n) = 1 / a^n
再说有理数集上的定义：
a^(1 / n) = a的n次算术根，
a^(p / q) = (a^p)的q次算术根，其中p / q是既约分数.
这样一来，有理数集上的指数函数就定义好了。并且用初等的方法不难证明在有理数集上a^(p / q)的单调性。事实上，对a^(p1 / q1)和a^(p2 / q2)，可以把分数p1 / q1和p2 / q2通分，这样分母相同，设分别是p1' / q， p2' / q。现在就是在比以a^(1 / q)为底，以p1'和p2'为指数的两个数大小。显然当a > 1时，a^(1 / q) > 1，从而可知函数是严格单调增的；反之，a < 1时，也能证出函数是严格单调减的

6. 用定义法证明指数函数的单调性

假设y=a^x中a>1,对于任意的m,n属于R，m<n
f(n)-f(m)=a^n-a^m=a^m[a^(n-m)-1]
因为a>1,n>m,即n-m>0,所以a^(n-m)>1
即a^(n-m)-1>0
又因为a^m>0
所以f(n)-f(m)>0
即得到y=a^x当a>1时在R上为增函数，同理可以证明a<1的情况

7. 高中指数函数单调性证明

这两种证明方法都没有循环论证的问题。两种证明方法中，我们用到的性质都是2的正数次幂大于1，这个性质并不是指数函数单调性的一个推论，而是可以从指数的定义中直接得出来的。问题在于，高中阶段根本无法解释像2的根号2次方怎么定义的问题，所以才不能直接证明这个性质。因为有理数次幂是有定义的，所以下面可以给出一个证明2的正有理数次幂大于1的证明：
1、2的正整数次幂大于1.这个可以用归纳法来证明。n=1,2>1,n=k,2^k>1,n=k+1,2^n=2^（k+1）>2>1,从而对正整数，命题成立。
2、小于1的正数的正整数次幂小于1.这个也可以用归纳证明。
3、2的正有理数次幂大于1.这个可以用反证法证明。（1）2的正有理数次幂大于0.（这个看起来显然，不过还是需要证明的）。（2）假若，存在2的某正有理数次幂小于1，则其为小于1的正数，从而它的任意次幂均小于1，而有理数在乘上一个适当的数之后就是正数，所以，这个数的某次方肯定是2的正整数次方，而这样一来，就会有2的正整数次方小于1的情况出现。这是和第1点矛盾的。所以，可以知道2的正有理数次方都是大于1的。命题推广到无理数，那不是我能够说给你懂的啦。
可见，你给出的两种证明单调性的方法都没有循环论证的问题。

8. 指数函数的单调性

首先，y＝a^x是指数函数，我们一般讨论a>0，且a≠1的情况。

当指数α是负整数时，设α=-k，则，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0）∪（0,+∞）。因此可以看到x所受到的限制来源于两点：
一是有可能作为分母而不能是0。
一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：α小于0时，x不等于0；α的分母为偶数时，x不小于0；α的分母为奇数时，x取R。

单调区间：
当α为整数时，α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性。
①当α为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增。
②当α为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增。
③当α为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）。
④当α为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。
当α为分数时（且分子为1），α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性。